Tre diametri e un pezzetto

0Da dove partiamo

Con oggi comincia una nuova unità: la circonferenza e il cerchio. Ci servono due parole che conosci già: il raggio (dal centro al bordo) e il diametro (da bordo a bordo passando per il centro). Il diametro è lungo due raggi: d = 2 × r.

La domanda dell’ora: il giro di un cerchio (la circonferenza) è più lungo del diametro. Ma quante volte?

1La storia della ruota

2002. In una palude a sud di Lubiana, in Slovenia, un gruppo di archeologi scava i resti di un villaggio di palafitte. Nel fango, che l’ha protetta dall’aria, trovano una ruota di legno.

Quanti anni ha? Il metodo del carbonio-14, applicato al legno, dice: fra 5100 e 5350 anni. È la ruota di legno più antica trovata finora.

Com’è fatta? Due tavole di frassino tenute insieme da traverse; un asse di quercia lungo circa 1,2 m. Il foro per l’asse è quadrato: ruota e asse giravano insieme.

La nostra domanda: con un diametro di circa 70 cm, quanta strada fa la ruota in un giro? Scrivi sul quaderno la tua stima. La risposta arriva alla fine dell’ora.

Le misure cambiano di poco da una fonte all’altra (70-72 cm). Notizie dalla voce «Ljubljana Marshes Wheel» dell’enciclopedia Wikipedia.

2Gioco: il cerchio perfetto

Disegna un cerchio a mano libera nel riquadro, con un solo tratto, senza staccare il dito (o il mouse). Il gioco trova il centro e il raggio del tuo cerchio e misura quanto è rotondo. In classe si giocava alla lavagna, uno alla volta: chi lo disegna più rotondo?

3Prima prevedi: quante strisce fanno il giro?

In classe il prof ha tagliato alcune strisce di carta lunghe esattamente come il diametro di un barattolo. Poi le ha appoggiate, una dopo l’altra, intorno al bordo. Quante strisce servono per fare tutto il giro?

Scrivi la previsione sul quaderno. Se hai un barattolo, una striscia di carta e le forbici, puoi fare anche tu la prova.

4Misuriamo: il giro diviso il diametro

Lo puoi rifare a casa, con oggetti rotondi qualunque: un tappo, un rotolo di scotch, una bottiglia, un barattolo, un piatto. Ti servono una striscia di carta, le forbici, il righello e la calcolatrice.

1. Taglia una striscia di carta sottile e dritta.
2. Avvolgila stretta intorno all’oggetto e segna con la matita il punto dove si sovrappone.
3. Distendila sul righello, partendo dallo 0: la lunghezza fino al segno è il giro C.
4. Il diametro d: è la misura più larga, passando per il centro. Aiutati con due quaderni appoggiati ai lati dell’oggetto: misura la distanza fra i due.
5. Dividi giro : diametro con la calcolatrice. Fallo con 3 oggetti diversi, grandi e piccoli.

Copia la tabella sul quaderno e riempila. Che cosa noti nell’ultima colonna?

5MODELLOLa tabella e il grafico

In classe ogni coppia ha dettato un oggetto e la tabella si è riempita sulla lavagna. Qui scrivi le tue misure (con la virgola). Se non hai potuto misurare, tocca «Misure d’esempio». Il modello calcola C : d, la media, e mette ogni oggetto come un punto nel grafico.

Le misure d’esempio sono inventate, ma realistiche: moneta da 2 euro (C 8,1 cm, d 2,6 cm); rotolo di scotch (C 23,7 cm, d 7,5 cm); bottiglia d’acqua (C 20,3 cm, d 6,5 cm); barattolo (C 31,6 cm, d 10 cm); piatto (C 75,6 cm, d 24 cm). Limiti del modello: con il righello si sbaglia di qualche millimetro, per questo i quozienti non vengono tutti uguali; con oggetti piccoli l’errore pesa di più.

6MODELLOLa ruota che rotola

Una ruota fa un giro completo, rotolando sulla strada senza strisciare. La strada che percorre è lunga quanto il suo giro. Quanti diametri ci stanno?

Per ogni cerchio, grande o piccolo, il giro è circa 3,14 volte il diametro: tre diametri e un pezzetto.

È un modello: la ruota è disegnata e rotola senza strisciare, cosa che nella realtà non succede mai del tutto. Il «pezzetto» non si può scrivere in modo esatto con un numero decimale che finisce.

7Si copia sul quaderno

8MODELLOChe numero è π?

π = 3,14159 26535 89793… Le cifre dopo la virgola non finiscono mai e non si ripetono a gruppi: π è un numero irrazionale, cioè non si può scrivere come frazione. Lo si è dimostrato alla fine del Settecento.

Archimede (Siracusa, 287-212 a.C.) non poteva misurare π con precisione. Allora lo ha chiuso in mezzo: ha disegnato un poligono regolare dentro il cerchio (il suo giro è un po’ più corto) e uno fuori (il suo giro è un po’ più lungo), partendo da 6 lati e raddoppiandoli fino a 96. Muovi il cursore: il cerchio ha diametro 1, quindi il suo giro è proprio π.

È un modello: con 192 lati i poligoni sul disegno sembrano già un cerchio, ma i loro giri sono ancora un po’ diversi da π.

Prima di Archimede. Nella Bibbia si descrive una grande vasca rotonda di bronzo con il diametro di 10 cubiti e il giro di 30: come dire π ≈ 3. I Babilonesi usavano 3 + 1/8 = 3,125. E alla fine dell’Ottocento si è dimostrato che con riga e compasso non si può costruire un segmento lungo esattamente π.

Curiosità. La lettera π è l’iniziale di periphéreia, che in greco vuol dire «contorno». Il 14 marzo (che negli Stati Uniti si scrive 3/14) è la «giornata del pi greco».

9Esercizi a livelli

Usa π ≈ 3,14 e la calcolatrice. Per ogni esercizio: fai prima una stima (il giro è poco più di 3 volte il diametro), poi il calcolo. Parti dal livello che ti serve: puoi sempre salire.