La retta appesa e i debiti di Bombelli
Martedì 22 settembre 2026 · I numeri relativi
0Da dove partiamo
Venerdì, con i fusi orari, abbiamo messo in ordine i numeri relativi sulla retta e abbiamo cercato una regola per sommarli e sottrarli. Oggi quella regola la guardiamo in due modi: camminando su una retta vera, appesa in classe, e con i crediti e i debiti, cioè i soldi che si hanno e quelli che si devono.
Obiettivo: sommare e sottrarre due numeri relativi e calcolare di quanto cambia una temperatura.
1Calcolo veloce
A mente, uno alla volta. Poi di' (o scrivi) come hai fatto.
- ½ di 36
- ¾ di 20
- 0,5 = ?/10 = ?/2
- 3 + 2 × 5
- Rettangolo 7 × 4: area e perimetro
Soluzioni
1. 18 (36 : 2).2. 15 (20 : 4 = 5, poi 5 × 3).
3. 0,5 = 5/10 = 1/2.
4. 13: prima la moltiplicazione (2 × 5 = 10), poi 3 + 10.
5. Area 7 × 4 = 28 quadretti; perimetro 7 + 4 + 7 + 4 = 22.
2Che cosa avevamo risposto venerdì
Alla domanda «Da Tokyo (+9) a Los Angeles (−8): quante ore di differenza e in che verso?» erano arrivate risposte diverse: «12 ore», «18», «16», «17 in senso antiorario», «−17». Nessuna è stupida: ognuna ha un ragionamento dietro.
a) Da dove viene «12 ore»?
b) Chi ha scritto 18 e chi 16, come ha contato?
c) «Antiorario»: sulla retta dei fusi c'è un verso orario?
Risposte
a) Dall'orologio: il quadrante ha 12 ore e dopo il 12 si ricomincia. Per l'orologio è giusto, ma i fusi stanno su una retta.b) 18 conta le tacche da +9 a −8 comprese tutte e due; 16 le conta escludendole. Bisogna contare i salti: sono 17. È lo stesso errore dei paletti di un recinto.
c) No: sulla retta non si gira, si va a destra o a sinistra. E andare a sinistra ha un nome matematico: meno.
arrivo − partenza = (−8) − (+9) = −17
Il meno dice il verso, 17 dice quanti salti.
3Si appende la retta
In classe abbiamo teso uno spago da parete a parete e ognuno ha appeso il suo cartellino, da −10 a +10, partendo dallo 0 al centro.
Domanda: se appendo +1 e +2 attaccati e poi +3 a mezzo metro, che cosa non va?
Risposta
Le distanze devono essere tutte uguali. Sulla retta dei numeri serve un punto di partenza (lo 0, l'origine) e un'unità di misura, per esempio una spanna, sempre la stessa. Altrimenti è solo una fila, non una retta dei numeri.4L'ascensore
Un cursore parte dallo 0 e si sposta lungo la retta a ogni comando. Per ogni comando scrivi sul quaderno partenza, scrittura, arrivo. Prova a dire l'arrivo prima di premere il pulsante.
Premi «Comando successivo».
Tabella completa
| Comando | Partenza | Si scrive | Arrivo |
|---|---|---|---|
| sali di 4 | 0 | 0 + (+4) | +4 |
| scendi di 6 | +4 | (+4) + (−6) | −2 |
| scendi di 3 | −2 | (−2) + (−3) | −5 |
| sali di 7 | −5 | (−5) + (+7) | +2 |
| scendi di 2 | +2 | (+2) + (−2) | 0 |
5La temperatura
Alle 6 del mattino ci sono −4 °C; alle 14 ci sono +7 °C. Di quanto è salita la temperatura?
Poi: alle 22 ci sono −2 °C. Di quanto è scesa, dalle 14?
Risposte
Da −4 a +7 sono 11 salti a destra: (+7) − (−4) = +11, è salita di 11 gradi.Da +7 a −2 sono 9 salti a sinistra: (−2) − (+7) = −9, il segno meno dice che è scesa di 9 gradi.
Variazione = arrivo − partenza.
6Un problema del Cinquecento
Raffaele Bombelli, un matematico di Bologna vissuto nel 1500, per spiegare i numeri negativi usava esempi di soldi. Uno era più o meno così: se ho 15 scudi e ho un debito di 20, dopo aver pagato i 15 resto con un debito di 5.
Traducilo in un'operazione fra numeri relativi.
Risposta
+15 + (−20) = −5 (un debito di 5).A quel tempo molti matematici trovavano strani i numeri negativi; Bombelli mostrava che si incontrano tutti i giorni, proprio con i debiti.
7Le carte: crediti e debiti
Carte nere = crediti (+1, +2, +3, +5); carte rosse = debiti (−1, −2, −3, −5). Il patrimonio è la somma delle carte che hai in mano.
«Ricevi» = prendi una carta. «Ti tolgono» = rimetti giù una carta.
A ogni mossa scrivi l'operazione e il nuovo patrimonio.
| Mossa | Si scrive | Patrimonio |
|---|---|---|
| patrimonio iniziale | +3 + 2 − 5 − 1 | ? |
| 1. ricevi un credito di 5 | ? | ? |
| 2. ricevi un debito di 3 | ? | ? |
| 3. ti tolgono un credito di 2 | ? | ? |
| 4. ti tolgono un debito di 5 | ? | ? |
| 5. ricevi un debito di 2 | ? | ? |
| 6. ti tolgono un debito di 1 | ? | ? |
Tabella completa
| Mossa | Si scrive | Patrimonio |
|---|---|---|
| patrimonio iniziale | +3 + 2 − 5 − 1 | −1 |
| 1. ricevi un credito di 5 | (−1) + (+5) | +4 |
| 2. ricevi un debito di 3 | (+4) + (−3) | +1 |
| 3. ti tolgono un credito di 2 | (+1) − (+2) | −1 |
| 4. ti tolgono un debito di 5 | (−1) − (−5) | +4 |
| 5. ricevi un debito di 2 | (+4) + (−2) | +2 |
| 6. ti tolgono un debito di 1 | (+2) − (−1) | +3 |
La domanda della mossa 4. Ti hanno tolto un debito di 5. Stai meglio o peggio di prima? Di quanto?
Risposta
Meglio, di 5: il patrimonio passa da −1 a +4. Togliere un debito è come ricevere un credito: −(−5) fa come +(+5). Non c'è nessuna moltiplicazione: c'è il togliere un numero negativo.8È la stessa regola di venerdì?
Rileggi la regola che hai scritto venerdì. Le carte le danno ragione o torto? E la retta appesa?
9Si copia sul quaderno
Sommare un numero positivo: a destra. Sommare un numero negativo: a sinistra.
Togliere un numero negativo è come sommare il suo opposto:
(−1) − (−5) = −1 + 5 = +4
Variazione = arrivo − partenza. Il segno dice il verso.
10Esercizi a livelli
Tutti almeno la riga A. Scrivi sul quaderno l'operazione e il risultato; se serve, disegna la retta.
Riga A
Soluzioni
1. +5 − 8 = −32. −3 − 4 = −7
3. −2 − 5 = −7
4. (+3) − (−6) = +3 + 6 = +9: sale di 9 gradi.
Riga B
Soluzioni
5. −6 + 9 = +36. +4 + 4 − 10 = −2
Riga C
Soluzioni
7. Prima la parentesi quadra: (−2) − (+5) = −7. Poi +3 + (−7) = −4.8. Per esempio: «hai un patrimonio di +2 e ti tolgono un debito di 3» (il patrimonio diventa +5).