Due rapporti uguali
Giovedì 22 ottobre 2026 · Rapporti e proporzioni, terza ora
0Da dove partiamo
Martedì, con le mele del fruttivendolo, abbiamo visto che 30 kg costano 15 € e 40 kg costano 20 €: euro diviso chili fa sempre 0,5.
Obiettivo di oggi: prima scoprire da soli che cosa hanno di speciale due rapporti uguali, poi dare un nome a quello che abbiamo trovato.
1Quanto costa 1 chilo?
Arrivare a 1 in un colpo solo è difficile; a piccoli passi è facile: si divide per lo stesso numero tutte e due le colonne.
| kg | € | |
| 30 | 15 | |
| 10 | … | : 3 e : 3 |
| 2 | … | : 5 e : 5 |
| 1 | … | : 2 e : 2 |
La tabella completa
10 kg → 5 € · 2 kg → 1 € · 1 kg → 0,50 € (1 euro diviso 2: la metà di un euro).Ora tu, da solo: a) 8 kg costano 4 €: quanto costa 1 kg? b) 3 kg costano 9 €: quanto costa 1 kg?
Soluzioni
a) 4 : 8 = 0,50 € (la metà) · b) 9 : 3 = 3 €.Attenzione all’ordine: euro diviso chili. Se fai 8 : 4 trovi 2, che non è un prezzo al chilo.
2I vostri compiti
Per casa avevate scritto tre coppie di divisioni con lo stesso risultato. Ecco alcuni esempi (l’ultima riga è sbagliata apposta):
| 1º rapporto | 2º rapporto | uguali? |
| 6 : 3 = 2 | 10 : 5 = 2 | ✓ |
| 12 : 4 = 3 | 9 : 3 = 3 | ✓ |
| 1 : 2 = 0,5 | 5 : 10 = 0,5 | ✓ |
| 15 : 30 = 0,5 | 20 : 40 = 0,5 | ✓ |
| 6 : 8 = 0,75 | 4 : 5 = 0,8 | ✗ |
e si legge «6 sta a 8 come 3 sta a 4».
Riscrivi sul quaderno le tue coppie in questo modo e leggile ad alta voce.
Come le avete trovate? A caso, o c’è un trucco?
Un trucco
6 : 3 = 2 → 12 : 6 = 2 → 60 : 30 = 2. Si moltiplicano (o si dividono) tutti e due i numeri per lo stesso numero, come per le frazioni equivalenti.3Una scoperta: moltiplica in croce
In 6 : 8 = 3 : 4 due numeri stanno in mezzo: 8 e 3. Due stanno alle estremità: 6 e 4.
Calcola 8 × 3 e 6 × 4. Poi fai lo stesso con le righe della tabella della sezione 2 e con le tue coppie. Che cosa noti? E nella riga con ✗?
I prodotti
| proporzione | in mezzo | alle estremità |
| 6 : 8 = 3 : 4 | 8 × 3 = 24 | 6 × 4 = 24 |
| 6 : 3 = 10 : 5 | 3 × 10 = 30 | 6 × 5 = 30 |
| 12 : 4 = 9 : 3 | 4 × 9 = 36 | 12 × 3 = 36 |
| 1 : 2 = 5 : 10 | 2 × 5 = 10 | 1 × 10 = 10 |
| 15 : 30 = 20 : 40 | 30 × 20 = 600 | 15 × 40 = 600 |
| 6 : 8 e 4 : 5 ✗ | 8 × 4 = 32 | 6 × 5 = 30 |
Che cosa abbiamo scoperto: quando i rapporti sono uguali, i due prodotti sono sempre uguali. Quando i rapporti sono diversi (riga ✗), i prodotti sono diversi.
: e :
4Quello che abbiamo scoperto ha un nome
Guarda il disegno: 6 parti su 8 e 3 parti su 4 dello stesso segmento arrivano allo stesso punto. 68 e 34 sono lo stesso pezzo: 6 : 8 = 0,75 e 3 : 4 = 0,75.
- L’uguaglianza di due rapporti si chiama proporzione.
- 8 e 3, quelli in mezzo, si chiamano medi; 6 e 4, quelli alle estremità, si chiamano estremi.
- La nostra scoperta si chiama proprietà fondamentale delle proporzioni.
In una delle tue coppie: chi sono i medi? Chi gli estremi? Cerchiali sul quaderno.
5Si copia sul quaderno
L’uguaglianza di due rapporti si chiama proporzione.
6 : 8 = 3 : 4 «6 sta a 8 come 3 sta a 4»
(6 : 8 = 0,75 e 3 : 4 = 0,75). 8 e 3 sono i medi, 6 e 4 gli estremi.
Proprietà fondamentale: il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi: 8 × 3 = 6 × 4 = 24.
Se i prodotti sono diversi, non è una proporzione: 6 : 8 e 4 : 5 → 8 × 4 = 32, 6 × 5 = 30.
6Esercizi a livelli
Comincia dal livello che ti serve; se va bene, sali. Scrivi sul quaderno numero dell’esercizio e risposta. Il trucco: medi con medi, estremi con estremi.
Rookie
Soluzione
6 × 21 = 7 × 18 = 126. «Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi».Soluzione
Medi × medi ed estremi × estremi:21 × 5 = 105 e 7 × 15 = 105 ✓
7 × 18 = 126 e 42 × 3 = 126 ✓
14 × 72 = 1008 e 12 × 84 = 1008 ✓
Soluzione
6, 9, 8, 12: sì (9 × 8 = 72 e 6 × 12 = 72)3, 21, 10, 70: sì (21 × 10 = 210 e 3 × 70 = 210)
6, 9, 5, 8: no (9 × 5 = 45 e 6 × 8 = 48)
Pro
Soluzione
27, 42, 9, 14: sì (42 × 9 = 378 e 27 × 14 = 378)15, 6, 35, 14: sì (6 × 35 = 210 e 15 × 14 = 210)
21, 30, 5, 8: no (30 × 5 = 150 e 21 × 8 = 168)
Soluzione
Devo scambiare anche gli altri due: 3 : 2 = 6 : 4 (2 × 6 = 12 e 3 × 4 = 12).Scambio i medi: 2 : 4 = 3 : 6 (sì, è ancora una proporzione).
Scambio gli estremi: 6 : 3 = 4 : 2 (sì, è ancora una proporzione).
Soluzione
Un prodotto fa da estremi, l’altro da medi:5 : 2 = 20 : 8
28 : 7 = 8 : 2
5 : 6 = 10 : 12
4 : 6 = 6 : 9
(vanno bene anche altre scritture corrette, per esempio 5 : 20 = 2 : 8).
Aura
Soluzione
9, 20, 4, 45: sì, perché 9 × 20 = 180 e 4 × 45 = 180. Per esempio 9 : 4 = 45 : 20.5, 12, 20, 40: no: provando le coppie (5 × 12 = 60 e 20 × 40 = 800; 5 × 20 = 100 e 12 × 40 = 480; 5 × 40 = 200 e 12 × 20 = 240) i prodotti non sono mai uguali.