Quante volte?

Venerdì 16 ottobre 2026 · Rapporti e proporzioni, prima ora

Come usare questa pagina. Lavora con il quaderno aperto. Scrivi data e titolo «Rapporti», rispondi alle domande prima di aprire le risposte, copia il riquadro «Si copia» e fai gli esercizi. Le soluzioni sono nascoste: aprile solo dopo aver provato da solo.

0Da dove partiamo

L'unità sulle figure che si deformano è chiusa. Oggi comincia una nuova unità, Rapporti e proporzioni. Impariamo un modo nuovo di confrontare due numeri: non solo «quanto di più», ma «quante volte».

Obiettivo: saper calcolare un rapporto e capire quando serve: le terre e i mari, dove si vive più stretti, i maschi e le femmine di una classe.

Nella stessa unità, più avanti: la «regola del tre semplice» dell'Aritmetica di Treviso, 1478.

1Chi è cresciuto di più?

In una settimana:

🌱 una piantina di basilico passa da 2 cm a 4 cm;
🌲 un abete passa da 100 cm a 102 cm.

Chi è cresciuto di più? Scrivi sul quaderno la lettera e il perché.

A · il basilico B · l'abete C · sono cresciuti uguale

Le due risposte

Quanto di più? (differenza): basilico 4 − 2 = 2 cm; abete 102 − 100 = 2 cm → sono cresciuti uguale.

Quante volte? (rapporto): basilico 42 = 2: è raddoppiato; abete 102100 = 1,02: è quasi uguale a prima.

Hanno ragione tutti e due: dipende da che cosa vogliamo sapere. Oggi impariamo il secondo modo.

2Tre esempi di rapporto

Partiamo da tre esempi.

il rapporto fra i due segmenti a sinistra è uguale a 34;
il rapporto fra la parte colorata della figura a destra e l'intero è uguale a 18;
il rapporto fra i km² delle terre emerse e i km² di tutta la superficie del globo è 149.450.000510.100.000 = 14.94551.010. Questa frazione è appena un po' più piccola di 15.00051.000 = 1551 = 517. Le terre sono quindi circa i 517 di tutta la superficie del globo.

I rapporti non servono solo per costruire figure geometriche: li troviamo dappertutto nella realtà di tutti i giorni.

3La Terra in una striscia

Possiamo disegnare questo rapporto con una striscia di 17 quadratini: 5 sono le terre emerse, gli altri 12 sono i mari e gli oceani.

■ terre emerse ■ mari e oceani

Rispondi sul quaderno:

a) Qual è il rapporto fra terre emerse e mari?
b) Le terre sono più o meno della metà dei mari?
c) Qual è il rapporto fra terre emerse e tutta la superficie della Terra?
d) E fra mari e superficie totale?

Poi controlla con la striscia:

Risposte

a) 512: 5 quadratini di terre per 12 di mari. Attenzione all'ordine: prima le terre, poi i mari.
b) Meno: la metà di 12 è 6, e 5 è meno di 6: le terre sono meno della metà dei mari.
c) 517, come nella sezione 2.
d) 1217.

4Dove si vive più stretti?

Italia o Argentina? Prima fai una previsione, poi i conti.

	abitanti	superficie
Italia	56.995.744	301.302 km²
Argentina	36.223.947	2.780.272 km²

Per confrontare i due paesi bisogna calcolare la densità della popolazione di ciascuno: il rapporto fra il numero di abitanti e la superficie.

Calcola la densità dei due paesi (puoi arrotondare: 57 milioni : 300 mila; 36 milioni : 2,8 milioni, oppure usa la calcolatrice). Che cosa vuol dire il risultato?

Risposta

Italia: 56.995.744 : 301.302 ≈ 190; Argentina: 36.223.947 : 2.780.272 ≈ 13.

Significa che, in media, in Italia ci sono 190 persone per ogni km², in Argentina solo 13.

L'Italia ha più abitanti, ma non è solo per questo: l'Argentina è più di 9 volte più grande. La densità = abitanti : km² è una nuova grandezza: si misura in abitanti per km².

Dati: censimento 2001.

E nella tua classe?

Consegna: considera gli alunni della tua classe, conta i maschi e le femmine e scrivi sul quaderno il rapporto fra maschi e femmine.

Esempio, con numeri inventati: 12 maschi e 8 femmine → maschi : femmine = 12 : 8 = 128 = 32 = 1,5: per ogni femmina ci sono 1,5 maschi. Se maschi e femmine sono lo stesso numero, il rapporto è 1.

Controlla il tuo rapporto:

Maschi Femmine

5Si copia sul quaderno

16 ottobre · Rapporti

Confrontare due numeri per differenza: «quanto di più?». Per rapporto: «quante volte?».

rapporto fra a e b = a : b = a/b

Fra grandezze dello stesso tipo (omogenee) il rapporto è un numero: terre e mari = 5/12.

Fra certe grandezze di tipo diverso il rapporto è una nuova grandezza: densità = abitanti : km² (Italia ≈ 190 abitanti per km²).

6Esercizi a livelli

Comincia da Rookie; se va bene passa a Pro, poi ad Aura. Scrivi sul quaderno numero dell'esercizio e risposta.

Rookie

1Calcola i rapporti tra le seguenti coppie di numeri nell'ordine dato:

12 e 635 e 53 e 1209 e 25 e 18

Soluzione

12 : 6 = 2; 35 : 5 = 7; 3120 = 140 (non 40: l'ordine conta!); 92 = 4,5; 518

2Due segmenti misurano 8 cm e 2 cm. Indica quale fra le seguenti proposte è quella che rappresenta il loro rapporto:

4 cm 14 4

Soluzione

4: è un numero, senza cm, perché i due segmenti sono grandezze omogenee (8 cm : 2 cm = 4). 14 sarebbe il rapporto fra 2 cm e 8 cm, nell'ordine inverso.

3In un bar vicino alla scuola, tra le ore 8 e le 9 del mattino, sono entrate 60 persone per fare colazione. Di queste, 20 hanno consumato un cappuccino. Qual è il rapporto tra le persone che hanno bevuto un cappuccino e il totale delle persone?

Soluzione

2060 = 13: una persona su tre ha preso il cappuccino.

Pro · differenza o rapporto?

4Completa la tabella:

coppie di numeri	differenza	rapporto
8 e 3	8 − 3 = 5	83
16 e 6	16 − 6 = …	166 = 8…
32 e 12	32 − 12 = …	3212 = ……

Dalla tabella puoi osservare che, se il rapporto fra due coppie di numeri è uguale, la differenza cambia.

Soluzione

16 − 6 = 10 e 166 = 83; 32 − 12 = 20 e 3212 = 83. Il rapporto è sempre 83, la differenza cambia (5, 10, 20).

5Completa la seguente tabella.

coppie di numeri	differenza	rapporto
8 e 3	8 − 3 = 5	83
20 e 15	20 − 15 = …	2015 = …
40 e …	40 − … = 5	40… = …

Se la differenza è uguale, che cosa accade al rapporto?
Il rapporto tra due numeri può essere in qualche caso uguale alla loro differenza?

Soluzione

20 − 15 = 5 e 2015 = 43; 40 e 35: 40 − 35 = 5 e 4035 = 87.
La differenza è sempre 5, ma il rapporto cambia.
Sì, per esempio 4 e 2: 4 − 2 = 2 e 4 : 2 = 2.

Aura

6Il costo del biglietto ferroviario in 2ª classe è in Italia, in Francia, in Germania rispettivamente di euro: 8,26; 12,08; 13,94 per 100 km. Determina:
1) il rapporto fra il costo in Italia e quello in Francia;
2) il rapporto fra il costo in Italia e quello in Germania.
Che cosa osservi?

Soluzione

1) 8,26 : 12,08 ≈ 0,68; 2) 8,26 : 13,94 ≈ 0,59.
In Italia si spende circa i 23 che in Francia e poco più della metà che in Germania. Attenzione all'ordine: prima l'Italia, poi l'altro paese.

7Rispondi vero o falso.
a) Un rapporto è sempre maggiore del suo inverso.
e) Se a > b, allora ab > 1.
f) Si può trovare un rapporto fra tre grandezze.

Soluzione

a) Falso: per esempio 12 è minore del suo inverso 2.
e) Vero.
f) Falso: un rapporto si fa fra due grandezze.

7Tre domande per uscire

1. Una candela passa da 10 cm a 5 cm, un'altra da 30 cm a 25 cm. Si sono accorciate di quanto? E quale è diventata la metà di prima?
2. Qual è il rapporto fra 6 e 18?
3. In un paese vivono 1.200 persone su 4 km². Qual è la densità?

Risposte

1. Tutte e due di 5 cm. La prima è diventata la metà: 510 = 12 (la seconda 2530 = 56).
2. 618 = 13.
3. 1.200 : 4 = 300 abitanti per km².

✓Da fare

Quaderno in ordine: data e titolo «Rapporti», le risposte alle sezioni 1, 3 e 4, il «Si copia» e gli esercizi del tuo livello.
E nella tua classe? Se non l'hai già fatto, scrivi sul quaderno il rapporto fra maschi e femmine della tua classe.
Tabelline: la scheda del Giorno 3, su Argo.