Il rettangolo di spago

Martedì 29 settembre 2026 · seconda ora

Come usare questa pagina. Quaderno a quadretti, data e titolo «Il rettangolo di spago». Se hai a casa uno spago o un laccio da scarpe, annodalo ad anello: ti servirà per il primo esperimento. Rispondi sul quaderno prima di aprire le risposte, costruisci tabella e grafico, copia il riquadro «Si copia» e poi fai gli esercizi.

0Da dove partiamo

Il 22 settembre abbiamo schiacciato il quadrato di cannucce: stesso perimetro, area più piccola. Oggi facciamo un passo in più: non ci chiediamo più se l'area diminuisce, ma come diminuisce.

Obiettivo: costruire la tabella e il grafico dell'area dei rettangoli che hanno tutti lo stesso perimetro.

1Lo spago fra le mani

Tendi l'anello di spago fra pollici e indici: hai un rettangolo. Ora avvicina le dita e allontana le mani: la base si allunga, l'altezza si accorcia. Il contorno è sempre lo stesso pezzo di spago.

Molti pensano che l'area resti uguale: «quello che si perde in altezza si guadagna in base». Ma se continui, il rettangolo diventa sempre più sottile e alla fine si schiaccia del tutto: lì l'area è zero.
L'area va a zero A · di colpo, alla fine, oppure B · a poco a poco, fin dall'inizio? Scrivi A o B sul quaderno.

2Perimetro 24, sul quaderno

Consegna. Disegna, uno sotto l'altro, tutti i rettangoli con perimetro 24 (24 lati di quadretto). Per ognuno scrivi base, altezza e area, e ordinali dalla base più piccola alla più grande.
Bloccato? Quanto fanno base + altezza?

Soluzione: la tabella

base + altezza = 12, la metà del perimetro. Si contano anche i rettangoli «girati» (1 × 11 e 11 × 1): nel grafico saranno punti diversi.

base	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
altezza	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
area	0	11	20	27	32	35	36	35	32	27	20	11	0

Le colonne con base 0 e base 12 sono i casi limite: il rettangolo è schiacciato e l'area è zero.

Prova qui: muovi il cursore e guarda il rettangolo e il suo punto sul grafico.

base

3La risposta nel grafico

Sul quaderno: base in orizzontale (1 quadretto = 1), area in verticale (1 quadretto = 2). Segna i punti della tabella. Poi rispondi:

a) L'area va a zero di colpo o a poco a poco?
b) Da base 5 a base 6 l'area cresce di 1; da base 1 a base 2 cresce di 9. Dove cambia più in fretta?
c) Quale rettangolo ha l'area più grande?
d) I punti stanno su una retta?

Risposte

a) A poco a poco: la risposta giusta era B.
b) Vicino ai casi limite l'area cambia in fretta (crolla); vicino al quadrato quasi non cambia.
c) Il quadrato 6 × 6, area 36.
d) No: formano una curva che sale, arriva in cima al quadrato e scende in modo simmetrico (4 × 8 e 8 × 4 hanno la stessa area). Questa curva si chiama parabola.

4Si copia sul quaderno

29 settembre · Il rettangolo di spago

Rettangoli con lo stesso perimetro si chiamano isoperimetrici.

Fra tutti, il quadrato ha l'area più grande.

Se il rettangolo si schiaccia, l'area diminuisce a poco a poco fino a zero.

I punti del grafico non stanno su una retta: formano una curva, la parabola.

5Esercizi a livelli

Rookie

1Completa le frasi.
a) Due rettangoli con lo stesso perimetro si dicono ……
b) Due rettangoli con lo stesso perimetro possono avere area ……
c) Fra i rettangoli con lo stesso perimetro, il quadrato ha l'area ……
d) Quando il rettangolo si schiaccia del tutto (caso limite), l'area è ……

Soluzione

a) isoperimetrici; b) diversa; c) più grande (massima); d) zero.

2Scrivi tutte le coppie di numeri naturali che hanno somma 18. Se ogni coppia è base e altezza di un rettangolo, quanti rettangoli ottieni? C'è anche un quadrato?

Soluzione

(0; 18), (1; 17), (2; 16) … (17; 1), (18; 0): sono 19 coppie. Togliendo i due casi limite con lo 0 restano 17 rettangoli (contando anche quelli girati). Sì, c'è il quadrato 9 × 9.

Pro

3Un rettangolo ha perimetro 28 cm. Scegli base e altezza. È l'unico rettangolo con questo perimetro? Calcola l'area di due rettangoli diversi con perimetro 28 cm.

Soluzione

Base + altezza = 14 cm. Ce ne sono tanti: con i numeri interi 13 × 1, 12 × 2, 11 × 3, 10 × 4, 9 × 5, 8 × 6, 7 × 7 (e con i decimali infiniti altri). Per esempio 10 × 4 → 40 cm²; 8 × 6 → 48 cm².

4Calcola l'area di un quadrato con perimetro 28 cm. Confrontala con le aree dei rettangoli dell'esercizio 3.

Soluzione

Lato 28 : 4 = 7 cm; area 7 × 7 = 49 cm². È più grande dell'area di ogni rettangolo con perimetro 28 cm (il più vicino, 8 × 6, ha 48 cm²).

Aura

5Coppie di numeri, anche decimali, con somma 12: per esempio 5,5 e 6,5. Calcola l'area del rettangolo 5,5 × 6,5. Dove sta il suo punto sul grafico?

Soluzione

5,5 × 6,5 = 35,75: un punto sulla curva fra base 5 (area 35) e base 6 (area 36). Con i decimali i punti si infittiscono e riempiono la parabola.

6Uno spago lungo 32 quadretti. Costruisci la tabella base, altezza, area (basi intere da 0 a 16). Qual è l'area più grande?

Soluzione

base + altezza = 16. Aree: 0, 15, 28, 39, 48, 55, 60, 63, 64, 63, 60, 55, 48, 39, 28, 15, 0. Il massimo è il quadrato 8 × 8, area 64.

6Tre domande per uscire

1. Perimetro 24: quale rettangolo ha l'area più grande?
2. Perimetro 24, base 2: quanto vale l'area?
3. Il grafico area-base è una retta o una curva?

Risposte

1. Il quadrato 6 × 6, area 36.
2. Altezza 10, area 20.
3. Una curva: la parabola.