Il raddoppio che non raddoppia

Martedì 15 settembre 2026

Come usare questa pagina. Lavora con il quaderno a quadretti aperto. Scrivi data e titolo, rispondi alle domande prima di aprire le risposte, disegna i quadrati e poi fai gli esercizi. Le soluzioni sono nascoste: aprile solo dopo aver provato da solo.

0Da dove partiamo

Primo giorno di seconda. Una sola domanda, e una scommessa da scrivere sul quaderno prima di fare qualsiasi calcolo:

Se il lato di un quadrato raddoppia, raddoppia anche la sua area?
Scrivi SÌ o NO. Non cancellarlo: alla fine ci torniamo.

Obiettivo: scoprire che cosa succede davvero all'area (e al volume) quando una figura si ingrandisce, e non fidarsi del primo «sembra ovvio».

1Contiamo i quadretti

Disegna sul quaderno quattro quadrati: lato 1, lato 2, lato 3, lato 4 quadretti. Conta i quadretti dentro a ciascuno.

lato

lato	1	2	3	4
area (quadretti)	1	4	9	16

a) Il lato passa da 1 a 2: ha raddoppiato. L'area che cosa ha fatto?
b) E da 2 a 4? Il lato raddoppia di nuovo.
c) Se il lato fosse 10 volte più lungo, quante volte più grande sarebbe l'area? Prova con lato 1 e lato 10.

Risposte

a) Da 1 a 4: è diventata 4 volte più grande, non 2.
b) Da 4 a 16: ancora ×4.
c) Da 1 a 100: 100 volte più grande (10 × 10).

Torna alla tua scommessa: la risposta giusta era NO. Se il lato raddoppia, l'area diventa quattro volte più grande. Il motivo si vede nel disegno: il quadrato grande contiene quattro quadrati piccoli, due in larghezza e due in altezza.

2Adesso la formula

Guarda i numeri dell'area: 1, 4, 9, 16. Sono 1 × 1, 2 × 2, 3 × 3, 4 × 4. Ecco perché:

Area del quadrato = lato × lato = ℓ²

La formula non è arrivata prima: spiega quello che hai già contato.

3Secondo colpo di scena: il cubo

Nuova scommessa: se lo spigolo di un cubo raddoppia, il volume diventa 4 volte più grande?

Pensa a un cubo fatto di cubetti. Spigolo 1: un cubetto. Spigolo 2: due strati, e in ogni strato 2 × 2 cubetti.

Risposta

No: il cubo di spigolo 2 contiene 2 × 2 × 2 = 8 cubetti. Il volume diventa 8 volte più grande. Con spigolo 3: 3 × 3 × 3 = 27 cubetti.

4La regola che sta sotto

lato moltiplicato per	2	3	10
area moltiplicata per	4	9	100
volume moltiplicato per	8	27	1000

Se moltiplico il lato per un numero k, l'area si moltiplica per k² e il volume per k³. L'area dipende da due dimensioni, il volume da tre.

5Scrivi con parole tue

15 settembre · Il raddoppio che non raddoppia

Scrivi sul quaderno, con parole tue, che cosa è successo oggi. Poi completa la frase:

«Avevo detto SÌ / NO perché…»

Ricorda: se il lato raddoppia, l'area diventa 4 volte più grande e il volume 8 volte.

6Esercizi a livelli

Comincia da Rookie; se va bene passa a Pro, poi ad Aura.

Rookie

1Calcola l'area di un quadrato di lato 3 cm e di un quadrato di lato 6 cm. Quante volte è più grande la seconda area?

Soluzione

9 cm² e 36 cm²: la seconda è 4 volte più grande (36 : 9 = 4).

2Un quadrato ha lato 5 cm. Un altro ha lato 10 cm. Senza disegnarli: quanti quadrati piccoli servono per ricoprire quello grande?

Soluzione

4: area 25 cm² e 100 cm², 100 : 25 = 4.

3Se il lato di un quadrato diventa 3 volte più lungo, l'area diventa quante volte più grande?

Soluzione

9 volte (3 × 3). Esempio: lato 1 → area 1; lato 3 → area 9.

Pro

4Una pizzeria vende pizze in teglia quadrata:

pizza	piccola	media	maxi «il doppio!»	family
teglia	20 × 20 cm	30 × 30 cm	40 × 40 cm	50 × 50 cm
prezzo	5 €	10 €	18 €	30 €

a) La maxi è davvero «il doppio» della piccola? Quante piccole ci stanno in una maxi?
b) Quale pizza conviene di più, cioè quale costa meno per ogni decimetro quadrato? (20 cm = 2 dm.)

Soluzione

a) No: il lato raddoppia (da 2 dm a 4 dm), l'area passa da 4 dm² a 16 dm², cioè 4 piccole.
b) Si divide il prezzo per l'area: piccola 5 : 4 = 1,25 €; media 10 : 9 ≈ 1,11 €; maxi 18 : 16 = 1,125 €; family 30 : 25 = 1,20 €. Conviene la media, poi la maxi, poi la family, ultima la piccola.

5Un cubo ha spigolo 3 cm. Un altro ha spigolo 6 cm. Quanti cubi piccoli servono per riempire quello grande?

Soluzione

8: volumi 27 cm³ e 216 cm³, 216 : 27 = 8.

Aura

6Un gigante è alto esattamente il doppio di te, ed è fatto proprio come te. Quante volte pesa più di te? Le sue ossa, viste in sezione, sono grosse quante volte le tue? Secondo te riuscirebbe a stare in piedi?

Soluzione

Il peso dipende dal volume (tre dimensioni): 8 volte. La sezione delle ossa è un'area (due dimensioni): solo 4 volte. Ogni pezzetto di osso dovrebbe reggere il doppio del peso: si spezzerebbe. Per questo gli animali molto grandi hanno zampe tozze.

7Con i prezzi della pizzeria dell'esercizio 4: a quale prezzo la maxi costerebbe al dm² quanto la media?

Soluzione

La media costa 10 € per 9 dm². Per 16 dm² allo stesso prezzo: 10 : 9 × 16 ≈ 17,78 €. Mancavano circa 22 centesimi.

8Il pizzaiolo vuole una pizza quadrata che costi 1,10 € al dm² e che si venda a 22 €. Quanto deve essere lungo il lato della teglia?

Soluzione

Area = 22 : 1,10 = 20 dm². Serve un numero che moltiplicato per sé stesso dia 20: non è intero, è circa 4,47 (4,47 × 4,47 ≈ 19,98). Lato ≈ 4,5 dm, cioè circa 45 cm.

7Tre domande per uscire

1. Il lato di un quadrato raddoppia: l'area diventa quante volte più grande?
2. Lo spigolo di un cubo raddoppia: il volume diventa quante volte più grande?
3. Un quadrato ha area 49 cm². Quanto è lungo il lato?

Risposte

1. 4 volte.
2. 8 volte.
3. 7 cm, perché 7 × 7 = 49.