1ª G · MatematicaProf. Paride Porpora

1ª G · Matematica · Unità 4 – Rappresentazioni grafiche e piano cartesiano

Chi ha disegnato questa mappa?

Venerdì 6 novembre 2026 · La mappa in scala e il punto con due distanze

Matematica · prima del cortile
Un quadrato bianco in mezzo a un edificio, con quattro lettere agli angoli. È una mappa vera, disegnata in scala.
Dentro è vuota: lunedì la riempiamo noi, con una rotella metrica e un compasso.
Chi ha disegnato questa mappa? E come si fa a mettere un punto nel posto giusto, se non si può misurare con il righello dentro il cortile?
FOTO VERADue compassi da scuola
Come usare questa pagina. Lavora con il quaderno aperto, il righello e il compasso. Scrivi la data e il titolo «La mappa in scala e il punto con due distanze», rifai le attività nell’ordine (prima pensa e scrivi tu, poi guarda), prova i due modelli che si muovono. Le risposte sono nascoste: aprile solo dopo aver provato da solo.

0Da dove partiamo

Nelle ultime settimane abbiamo messo punti sul piano e disegnato grafici con la scala: un quadretto può valere 1 grado, 2 euro, 50 grammi… Lunedì la scala esce dal quaderno: nel cortile del Palazzo comunale completiamo una mappa vera.

Le domande di oggi: quanto è grande il cortile, se sulla mappa è grande 16 cm? E come si mette sulla mappa un punto del cortile, usando solo una rotella metrica e il compasso?

1La mappa vera

Guarda la mappa. Il cortile è il quadrilatero bianco ABCD; tutto intorno, a righe, ci sono gli edifici. Ogni quadretto del cortile è 1 metro.

PALAZZO COMUNALEPALAZZO COMUNALEPALAZZO COMUNALECHIESAAB ≈ 20,1 mCD ≈ 19,4 mAD ≈ 19,4 mBC ≈ 19,9 mABCD05 m10 mscala 1 : 125 · un quadretto = 1 m

1. Chi può aver disegnato una mappa così precisa?   2. Che cosa manca, dentro il cortile?

Risposte1. L’ha disegnata il catasto: l’ufficio dello Stato che disegna, in scala, ogni terreno e ogni edificio d’Italia (oggi è un servizio dell’Agenzia delle Entrate). Noi l’abbiamo ridisegnata con le stesse misure.
2. Manca tutto quello che c’è dentro: il catasto disegna solo i confini. Gli oggetti del cortile li aggiungiamo noi, misurando.
FOTO VERAUna rotella metrica: un nastro lungo molti metri che si srotola

Nel cortile non si può usare il righello: le distanze si misurano con la rotella metrica. Poi, sul foglio, si lavora con il compasso.

Le misure dei lati vengono dal catasto e sono arrotondate ai decimetri. Lunedì le controlliamo sul posto: dove cadono esattamente gli angoli (un muro, un portico) lo vedremo solo lì.

2La scala: 16 cm sulla carta, 20 m nel cortile

La mappa è in scala 1 : 125: ogni misura vera è stata divisa per 125. Quindi 1 cm sulla carta vale 125 cm veri, cioè 1,25 m.

Domanda. Sulla mappa il lato AB è lungo 16 cm. Quanto è lungo davvero? Scrivi il calcolo sul quaderno.

Risposta16 × 1,25 = 20 m. Il catasto dice circa 20,1 m: lunedì lo misuriamo con la rotella.
Attenzione a due errori facili: «16 m» (hai dimenticato la scala) e «12,8 m» (hai diviso invece di moltiplicare). I metri veri sono più dei centimetri sulla carta: 1 cm vale più di 1 m.
Andata e ritorno.
Dalla carta al vero: cm × 1,25 = metri.
Dal vero alla carta: metri × 0,8 = cm (perché 1 m vero diventa 8 mm sulla carta).
Perché proprio 0,8?1 cm sulla carta = 125 cm veri. Allora 100 cm veri (1 m) sulla carta sono 100 : 125 = 0,8 cm, cioè 8 mm. Controllo: 20 m × 0,8 = 16 cm, il lato AB. Torna!

3Come si trova un punto con due distanze

Nel cortile c’è un oggetto (un albero, una colonna, un tombino…). Vogliamo metterlo sulla mappa nel posto giusto. Basta conoscere due distanze: quella da un angolo e quella da un altro angolo.

AB

1 · Con la rotella si misura la distanza dell’oggetto da A. Sulla carta si apre il compasso di quella misura in scala, si punta in A e si traccia un arco.

AB

2 · Si misura la distanza dello stesso oggetto da B. Si punta in B e si traccia un secondo arco.

TAB

3 · L’oggetto è dove gli archi si incrociano. Per controllare, si misura una terza distanza, da C o da D.

Perché funziona?Tutti i punti che stanno a 6 cm da A formano un cerchio intorno ad A. Tutti i punti a 8 cm da B formano un cerchio intorno a B. Il punto che cerchiamo deve stare su tutti e due: è dove i cerchi si incrociano. Sul foglio basta un pezzetto di cerchio, l’arco.

4MODELLOIl tesoro con il compasso

Prima sul quaderno. Disegna un segmento AB = 10 cm. Il tesoro T è a 6 cm da A e a 8 cm da B. Trovalo con il compasso.

Poi controlla con il modello: muovi i cursori (sono le aperture del compasso) e guarda dove si incrociano gli archi.

AB 10 cm
da A
da B

Dove sta il tesoro?T è a circa 3,6 cm da A lungo AB e 4,8 cm sopra il segmento. Gli incroci in realtà sono due, uno sopra e uno sotto AB: il problema da solo non dice quale. Lunedì sarà facile scegliere: si prende quello dentro il cortile.
Sfida: misura con il goniometro l’angolo in TÈ un angolo retto (90°). Con lati 6, 8 e 10 il triangolo ATB è rettangolo: lo ritroverai fra qualche anno con il teorema di Pitagora.

Attenzione: è un modello. Il compasso vero lascia solo due pezzetti d’arco, non cerchi interi; la matita ha uno spessore, e ogni misura ha il suo piccolo errore: sul foglio il punto è sempre «circa» lì.

5MODELLOProva sulla mappa del cortile

Ora le distanze sono in metri veri, come lunedì. Il modello le trasforma in cm (× 0,8), traccia i due archi sulla mappa e segna in rosso il punto che sta dentro il cortile.

da A
da B

Compasso sulla carta: da A · da B

Anche questo è un modello: usa le misure del catasto, che lunedì controlliamo. Gli oggetti veri (alberi, colonne) hanno una larghezza: si misura sempre dal loro centro.

6Per il quaderno

6 novembre · Unità 4 – Rappresentazioni grafiche e piano cartesiano
La mappa in scala e il punto con due distanze

Scala 1 : 125: 1 cm sulla carta = 125 cm veri = 1,25 m.

Dalla carta al vero: cm × 1,25 = m.   Dal vero alla carta: m × 0,8 = cm.

Un punto si trova con due distanze: un arco dal primo angolo, un arco dal secondo; il punto è dove si incrociano. Gli incroci sono due: si sceglie quello giusto. Se le distanze sono troppo corte (o una è troppo lunga) gli archi non si toccano.

Controllo: una terza distanza.

7Esercizi

Sul quaderno, con righello e compasso. Scegli il tuo livello e poi, se vuoi, sali.

Rookie

1Scala 1 : 125 (1 m vero = 0,8 cm). Completa la tabella: quanti cm sulla mappa?
nel cortilesulla mappa
5 m?
10 m?
12,5 m?
20 m?
7,5 m?
Soluzione
nel cortilesulla mappa
5 m4 cm
10 m8 cm
12,5 m10 cm
20 m16 cm
7,5 m6 cm
Un modo veloce: 10 m = 8 cm, e 5 m è la metà: 4 cm.
2Al contrario (1 cm = 1,25 m): quanti metri veri?
sulla mappanel cortile
4 cm?
12 cm?
2,4 cm?
22,6 cm?
Soluzione
sulla mappanel cortile
4 cm5 m
12 cm15 m
2,4 cm3 m
22,6 cm28,25 m
22,6 cm è la diagonale AC sulla mappa: 28,25 m, circa i 28,3 m del catasto.

Pro

3Disegna AB = 10 cm. Trova con il compasso i punti a 7 cm da A e 7 cm da B. Quanti sono? Poi prova con 5 cm da A e 5 cm da B.
SoluzioneCon 7 e 7: due punti, uno sopra e uno sotto AB, tutti e due esattamente a metà di AB (5 cm da A in orizzontale).
Con 5 e 5: gli archi si toccano in un punto solo, il punto medio di AB (5 + 5 = 10, proprio la lunghezza di AB).
4Lunedì un gruppo misura un albero: 12 m da A e 16 m da B. Di quanti cm apre il compasso, per ciascuna delle due misure? Dove sta l’albero? Controlla con il modello della sezione 5.
Soluzione12 × 0,8 = 9,6 cm da A; 16 × 0,8 = 12,8 cm da B. Gli archi si incrociano in due punti: uno dentro il cortile (è l’albero) e uno sotto AB, dentro l’edificio, che si scarta. Controllo con la terza distanza: dall’albero a D ci sono circa 11,8 m.

Aura

5AB = 10 cm. Spiega perché con 3 cm da A e 4 cm da B il punto non si trova, e perché nemmeno con 2 cm da A e 13 cm da B. Scrivi una regola: quando gli archi si incrociano?
Soluzione3 + 4 = 7, più corto di 10: i due archi non arrivano a toccarsi. 13 − 2 = 11, più lungo di 10: l’arco grande «scavalca» quello piccolo senza toccarlo.
Regola: gli archi si incrociano se la somma delle due distanze è più grande di AB e la differenza è più piccola di AB. È la stessa regola del triangolo che si chiude di settembre: A, B e il punto formano un triangolo!
6Lunedì misuriamo AB con la rotella e troviamo 20,3 m; il catasto dice 20,1 m. Di quanti millimetri cambierebbe AB sulla mappa? La mappa è sbagliata?
SoluzioneLa differenza è 0,2 m; sulla mappa 0,2 × 0,8 = 0,16 cm = 1,6 mm, meno dello spessore di una riga di matita fatta male. La mappa va bene: la differenza può venire dalla misura (la rotella non tesa, l’angolo preso in un punto diverso) o dall’arrotondamento del catasto.
7Un compagno dice: «Il tombino è a 5 m da A e a 5 m da B». Prova sul modello della sezione 5: che cosa succede? Che cosa deve fare il gruppo?
SoluzioneGli archi non si toccano: 5 + 5 = 10 m, ma AB è lungo circa 20 m. Una misura (o tutte e due) è sbagliata: il gruppo deve rifare le misure.

Mappa: ridisegno nostro dalla cartografia catastale dell’Agenzia delle Entrate (CC BY 4.0); le misure sono da verificare sul posto. Foto da Wikimedia Commons: Two school compasses - 9 and 12 cm - B (Fructibus, CC0) · Lufkin Universal 50 ft tape measure (Junkyardsparkle, CC0).