Le proprietà delle operazioni

Mercoledì 7 ottobre 2026

Come usare questa pagina. Quaderno aperto: data e titolo «Le proprietà delle operazioni». Prova ogni calcolo a mente prima di aprire la risposta, copia la tabella del «Si copia» e fai gli esercizi nel modo più rapido.

0Da dove partiamo

Si racconta che, nel Quattrocento, un mercante tedesco chiese a un professore dove mandare a studiare il figlio. La risposta fu: per l'addizione e la sottrazione bastano le scuole tedesche; ma se vuole che impari anche la moltiplicazione e la divisione, deve andare in Italia. Allora fare i calcoli era difficile!

Obiettivo: conoscere tre trucchi (le proprietà) per fare i calcoli a mente più in fretta, e capire perché con la sottrazione e la divisione non funzionano.

1Chi trova il modo più furbo?

Senza calcolatrice, in 2 minuti:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = ?

Poi: 39 + 25 + 11 = ?

Il trucco

Si accoppiano i numeri dai due estremi: 1 + 19, 3 + 17, 5 + 15, 7 + 13, 9 + 11. Sono cinque coppie da 20: 5 × 20 = 100.
39 + 25 + 11 = (39 + 11) + 25 = 50 + 25 = 75.
Nell'addizione si può cambiare l'ordine dei numeri e raggrupparli come conviene.

2Anche nella moltiplicazione

5 × 237 × 2 = ?

Riesci a farlo a mente in 10 secondi?

Come

(5 × 2) × 237 = 10 × 237 = 2 370. Abbiamo cambiato di posto i numeri e li abbiamo raggruppati.

Proprietà commutativa: si può scambiare l'ordine dei numeri. 4 + 6 = 6 + 4 · 3 × 8 = 8 × 3
Proprietà associativa: i numeri si possono raggruppare come si vuole. 9 × 2 × 5 = 9 × (2 × 5)

34 × (8 + 5): due strade

Strada 1, prima la parentesi: 8 + 5 = 13; poi 4 × 13 = 52.

Strada 2, distribuisco il 4: 4 × 8 + 4 × 5 = 32 + 20 = 52.

Il risultato è lo stesso: è la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione. A che cosa serve?

Un esempio

43 × 11 = 43 × (10 + 1) = 430 + 43 = 473. Si fa a mente!

4E con la sottrazione e la divisione?

Vero o falso? Decidi prima, poi controlla facendo i calcoli.

a) 9 − 5 = 5 − 9
b) 20 − 8 − 3 = 20 − (8 − 3)
c) 40 : (8 + 2) = 40 : 8 + 40 : 2

Verifica

a) Falso: 9 − 5 fa 4, mentre 5 − 9 non si può fare con i numeri naturali.
b) Falso: a sinistra 12 − 3 = 9, a destra 20 − 5 = 15.
c) Falso: a sinistra 40 : 10 = 4, a destra 5 + 20 = 25.
Per le operazioni inverse (sottrazione e divisione) queste proprietà non valgono.

5Si copia sul quaderno

7 ottobre · Le proprietà delle operazioni

	commutativa	associativa	distributiva
addizione, moltiplicazione (operazioni dirette)	vale	vale	vale (× rispetto a +)
sottrazione, divisione (operazioni inverse)	non vale	non vale	non vale

Esempi: 14 + 15 + 16 = (14 + 16) + 15 = 30 + 15 = 45 · 9 − 5 ≠ 5 − 9

6Esercizi: nel modo più rapido

Scrivi sul quaderno numero dell’esercizio e calcoli. Comincia da Rookie.

Rookie

1Calcola queste addizioni usando le proprietà commutativa e associativa (come nell'esempio: 14 + 15 + 16 = (14 + 16) + 15 = 30 + 15 = 45).
a) 23 + 7 + 21 b) 73 + 15 + 17 c) 15 + 12 + 25 d) 2 + 34 + 18

Soluzione

a) (23 + 7) + 21 = 30 + 21 = 51 · b) (73 + 17) + 15 = 90 + 15 = 105 · c) (15 + 25) + 12 = 40 + 12 = 52 · d) (2 + 18) + 34 = 20 + 34 = 54

2Calcola nel modo più rapido, usando se serve le proprietà commutativa e associativa.
a) 35 + 48 + 72 b) 52 + 18 + 15 + 15 c) 80 + 3 + 120 + 7 d) 40 + 32 + 24 + 16

Soluzione

a) 35 + (48 + 72) = 35 + 120 = 155 · b) (52 + 18) + (15 + 15) = 70 + 30 = 100 · c) (80 + 120) + (3 + 7) = 200 + 10 = 210 · d) (40 + 32) + (24 + 16) = 72 + 40 = 112

Pro

3Esegui le addizioni raggruppando i numeri in modo furbo.
a) 14 + 28 + 56 + 12 b) 37 + 15 + 25 + 13 c) 48 + 12 + 51 + 19
d) 73 + 17 + 11 + 29 + 42 + 18 e) 36 + 13 + 14 + 27 + 45 + 15 f) 56 + 19 + 31 + 24 + 72 + 18

Soluzione

a) (14 + 56) + (28 + 12) = 70 + 40 = 110 · b) (37 + 13) + (15 + 25) = 50 + 40 = 90 · c) (48 + 12) + (51 + 19) = 60 + 70 = 130
d) (73 + 17) + (11 + 29) + (42 + 18) = 90 + 40 + 60 = 190 · e) (36 + 14) + (13 + 27) + (45 + 15) = 50 + 40 + 60 = 150 · f) (56 + 24) + (19 + 31) + (72 + 18) = 80 + 50 + 90 = 220

4Esegui nel modo più rapido queste moltiplicazioni, usando le proprietà commutativa e associativa.
a) 2 × 5 × 9 b) 5 × 3 × 4 × 7 c) 4 × 84 × 25 d) 3 × 4 × 250
e) 25 × 15 × 4 f) 27 × 10 × 2 g) 5 × 97 × 20 h) 6 × 20 × 3 × 5

Soluzione

a) 10 × 9 = 90 · b) (5 × 4) × (3 × 7) = 20 × 21 = 420 · c) (4 × 25) × 84 = 8 400 · d) (4 × 250) × 3 = 3 000
e) (25 × 4) × 15 = 1 500 · f) 27 × 20 = 540 · g) (5 × 20) × 97 = 9 700 · h) (20 × 5) × (6 × 3) = 100 × 18 = 1 800

Aura

5Calcola nel modo più rapido.
a) 5 × 32 × 2 b) 5 × 3 × 20 c) 48 × 2 × 20
d) 35 × 3 × 10 e) 26 × 15 × 2 f) 24 × 25 × 6
g) 28 × 20 × 5 h) 70 × 50 × 3 i) 72 × 2 × 5

Soluzione

a) 10 × 32 = 320 · b) 100 × 3 = 300 · c) 48 × 40 = 1 920
d) 105 × 10 = 1 050 · e) 26 × 30 = 780 · f) 24 × 150 = 3 600 (oppure 6 × 24 = 144; 144 × 25 = 3 600)
g) 28 × 100 = 2 800 · h) 3 500 × 3 = 10 500 · i) 72 × 10 = 720

6Calcola. Attenzione: non perdere tempo inutilmente!
a) 5,28 × 45 × 0 b) 35 × 483 × 0 × 82 c) 1 345 × 0 × 567 × 98

Soluzione

Fanno tutti 0: basta che uno dei fattori sia zero.

7Tre domande per uscire

1. Calcola nel modo più rapido: 26 + 38 + 74
2. Calcola nel modo più rapido: 4 × 17 × 25
3. Vero o falso? 20 − (8 − 3) = 20 − 8 − 3. Perché?

Risposte

1. (26 + 74) + 38 = 100 + 38 = 138. 2. (4 × 25) × 17 = 100 × 17 = 1 700. 3. Falso: a sinistra 20 − 5 = 15, a destra 12 − 3 = 9. Nella sottrazione la proprietà associativa non vale.