Insiemi finiti e infiniti
Mercoledì 16 settembre 2026
0Da dove partiamo
Oggi abbiamo guardato i numeri come un insieme, cioè come un gruppo di oggetti che stanno insieme. Due domande: l'insieme finisce o non finisce mai? E se faccio un'operazione con due numeri dell'insieme, il risultato resta dentro o esce?
Obiettivo: distinguere un insieme finito da uno infinito e capire quando un'operazione resta dentro l'insieme dei numeri naturali.
1I numeri naturali: non finiscono mai
I numeri naturali sono quelli che usiamo per contare: 0, 1, 2, 3, 4, 5, …
Pensa al numero più grande che conosci. Aggiungi 1: ne hai trovato uno ancora più grande. E poi ancora 1, e ancora… Non c'è un ultimo numero.
2I numeri dell'orologio: sono solo 12
Sul quadrante di un orologio a lancette i numeri sono 1, 2, 3, …, 12. Dopo il 12 non viene il 13: si ricomincia dall'1.
Altri esempi da pensare: i giorni della settimana, i mesi dell'anno, le lettere dell'alfabeto, i numeri pari.
Quali di questi insiemi sono finiti e quali infiniti?
Risposta
Giorni della settimana (7), mesi (12), lettere dell'alfabeto italiano (21): finiti. I numeri pari (0, 2, 4, 6, …): infiniti, perché aggiungendo 2 se ne trova sempre uno più grande.3Il recinto: operazioni che restano dentro e operazioni che escono
Immagina i numeri naturali chiusi in un recinto. Prendo due numeri dal recinto e faccio un'operazione: il risultato è ancora nel recinto?
| operazione | esempio | il risultato è un naturale? |
| addizione | 5 + 3 = 8 | sì, sempre |
| moltiplicazione | 5 × 3 = 15 | sì, sempre |
| sottrazione | 5 − 3 = 2 ma 3 − 5 = ? | non sempre |
| divisione | 6 : 3 = 2 ma 7 : 2 = ? | non sempre |
Addizione e moltiplicazione sono operazioni interne: non si esce mai dal recinto. Sottrazione e divisione a volte portano fuori: sono operazioni esterne all'insieme dei naturali.
Dove si va a finire con 3 − 5 e con 7 : 2?
3 − 5 nei naturali non si può fare: servirebbe un numero sotto lo zero (−2), come sul termometro d'inverno. 7 : 2 non dà un numero naturale: viene 3,5, un numero con la virgola.4In sintesi
L'insieme dei numeri naturali (0, 1, 2, 3, …) è infinito: non c'è un ultimo numero.
L'insieme dei numeri dell'orologio (1, 2, …, 12) è finito.
Nei naturali addizione e moltiplicazione sono operazioni interne: il risultato resta nell'insieme. Sottrazione e divisione no: a volte se ne esce.
Questo è un riassunto: sul quaderno vale quello che hai scritto in classe.